复平面上的拓扑与复数域的完备性

本文内容由简易程序从latex批量转义而来, 排版并不友好, 相对精美版请见课程整理

复平面上的拓扑与复数域的完备性

复平面上的拓扑

这部分内容详见数学分析-多元函数极限-\(\mathbb{R}^n\) 中的点集, 将复平面对应到 \(\mathbb{R}^2\), 并用复数的模长代表距离.

定义

• 设 \(C:z=z(t)=x(t)+y(t)\text{i}\ (a\leqslant t\leqslant b)\) 为一条连续曲线, 其中 \(x(t),y(t)\) 是 \([a,b]\) 上的连续实函数. \(z(a),z(b)\) 为起点和终点.

  称满足 \(a<t_1<b,a\leqslant t_2\leqslant b\), 当 \(t_1\neq t_2\) 时有 \(z(t_1)=z(t_2)\) 的点 \(z(t_1)\) 为曲线 \(C\) 的重点.

  没有重点的曲线称为简单曲线或若尔当曲线.

  特别地, 当起点和终点是同一个点时称之为闭曲线.

定理 若尔当定理

• 设 \(\gamma\) 是复平面上的一条简单闭曲线. 则 \(\gamma\) 的补集 \(\mathbb{C}\backslash\gamma\) 是两个区域的并, 其中一个是有界区域, 另一个是无界区域, 它们以 \(\gamma\) 为共同边界.

  并将其中的有界闭区域称为 \(\gamma\) 的内部.

复数域的完备性

这部分内容同样详见数学分析-多元函数极限-\(\mathbb{R}^n\) 中的点集, 将复平面对应到 \(\mathbb{R}^2\), 并用复数的模长代表距离.

涉及柯西收敛准则, 波尔查诺-魏尔斯特拉斯等定理.